Ein Paar synthetische Methoden. 291 



Hieraus unsere Formel, die zu weiteren Anlass giebt, deren 

 die einfachste ist : 



„, , , ab. bc. ca 



sm{aßy) 



58. Wenn abc drei Generatricen derselben Art eines 



Hyperboloids sind, deren am einfachsten die zwei z.B a und b 



fest, die dritte c variabel gedacht werden können, wird in 



der Formel: 



„, ^ , M{ab). Mil>c).M{ca) 

 P(abc) = ^ '~^>T-A —, 



im Zähler des rechten Gliedes M(ab), im Nenner, welcher 



sin-(a6). sin^{cy) 



geschrieben werden kann, der Factor sin-(a&) unter der 

 genannten Voraussetzung constant bleiben. Betrachtet man 

 nun den Bruch, 



M(bc) M{ca) 

 sin'^(ç/) 



wird der Zähler nur dann verschwinden, wenn c mit a oder b zu- 

 sammenfällt; man überzeugt sich aber durch Figurbetrach- 

 tung, dass dann gleichzeitig Zähler und Nenner = e^ werden 

 und somit der Bruch endlich bleibt. Der einzige Fall, in 

 welchem der Nenner unendlich wird, tritt für focale c ein; 

 gleichzeitig wird aber der Zähler unendlich derselben Ord- 

 nung. Hieraus folgt, dass/wr jede c das Parallelepiped P{abc) 

 constantes Volum hat. Lässt man nach und nach a und b 

 variiren, bekommt man den Satz: 



Für ein gegebenes Hyperboloid ist das Parallelepiped dreier 

 willkürlichen Geraden derselben Art von constantem Volume. Die 

 Constante ist selbstverständlich dieselbe, welche Art man 

 auch wählt. 



Dass die Constante mit dem Producte der Achsen des 



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