292 Elling Holst. 



Hyperboloids in naher Beziehung steht, sieht man dadurch ein, 

 dass sie nach dem Obigen nur dann verschwindet, wenn drei 

 der Geraden einander schneiden, d. h. wenn das Hyperboloid 

 degenerirt, und nur unendlich wird, wenn entweder eine der 

 Geraden ins unendlichs rückt oder sm{abc) Null ist, welche 

 Fälle beide aussagen, dass das Hyperboloid in ein hyper- 

 bolisches Paraboloid übergeht, dass also eine der Achsen un- 

 endlich wird. 



Dies wird durch specielle Wahl bestätigt; legt man 

 die beiden Generatricen derselben Art durch die Endpunkte 

 der einen reellen Hauptachse und die eine Génératrice dersel- 

 ben Art durch den einen Endpunkt der anderen, bekommt 

 man: 



P(a5c) =■ 4. das Product der drei Halbachsen, 



= 4 H (abc), 



wodurch dieser merkwürdige Satz über drei willkürliche Ge- 

 neratricen derselben Art vervollständigt ist. 



Es ist kaum nöthig zu bemerken, dass der Satz für alle 

 Flächen 2ter Ordnung gilt, indem man nur imaginäre statt 

 reelle Elemente bekommt. 



Es ist in diesem Kapitel ein kurzer Abriss der Elementar- 

 begriffe der metrischen Geometrie gegeben, so wie sie im 

 Consequenze mit der hiesigen Methode erstanden zu denken 

 sind. Es lag im Plane, diesen Abriss innerhalb einer näheren 

 Begrenzung zu halten; natürlicherweise könnten Betrachtungen 

 und Erweiterungen immer ferner angeknüpft werden. Die 

 folgende Abtheilung soll auf der hier entwickelten Grundlage 

 eine Reihe von Anwendungen in verschiedenen geometrischen 

 Bereichen darstellen. 



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