Ein Paar synthetische Mnthoden. 309 



und: 



^^^BC) IS^{ÅEF) L^{BFD) A^{GDE) 



— ^r,{DEF) A^{BGD) A.iCAE) /S^{ÄBF) 

 zu zeigen. 



1) Die beiden Differenzen verschwinden gleichzeitig näm- 

 lich allein, wenn die sechs Punkte demselben Kegelschnitte 

 gehören. Man benütze nur die Bemerkung in Art. 9 und 

 nehme die Punkte ABCDE als fest, F als beweglich an; 

 dann ist offenbar der Ort des F, wenn beide Differenzen gleich 

 Null gezetzt werden, ein und derselbe Kegelschnitt, nämlich 

 derjenige durch A, B, C, D und E, was nach und nach 

 F^ Ä, F=B u. 8. w. bestätigen. Sie verschwinden weiter 

 beide als unendlich Kleine derselben Ordnung. Jede Dif- 

 ferenz ist nämlich nur um einen nicht verschwindenden Fac- 

 tor von der Differenz zweier Doppelverhältnisse verschieden, 

 welche Differenzen nach 78 gleichzeitig e^ werden. 



2) Ebenfalls werden unsere Differenzen gleichzeitig und 

 zwar für unendlichen F unendlich, dann aber wieder von der- 

 selben Ordnung. 



3) Jedenfalls sind sie somit proportional. Legt man aber 

 F auf die Gerade DE , werden beide Subtrahenden Null und 

 die Minuenden bekommen einen gemeinsamen Factor lS^{ABC). 

 Die Figur zeigt dann augenblicklich die Identität zwischen 

 den zurückstehenden Producten: 



/S^iADE)ù.,^iBEF)A^iCFD)unaA^iAEF)A^{BFD)à{CDE), 

 in Folge dessen, dass jetzt DEF in einer Geraden liegen. 



Somit ist der Beweis geführt und eine Invariante nach- 

 gewiesen, welche bis auf das Vorzeichen (wechseln zwei Punkte, 

 ändert sich nämlich nur dieses) eine symmetrische Funktion der 

 6 Tunkte ist, welche nur verschwindet, wenn alle Punkte dem- 

 selben Kegelschnitte angehören, und nur dann unendlich 



