Ein Paar synthetische Methoden. 329 



und somit das gesuchte Product: 



m 



1 

 Im Allgemeinen tritt einfach die Quadratwurzel auf. 



102. Die Anzahl der Normalen von einem Punkte aus 

 an eine Kurve (fcn ^ ^m) ist bekanntlich w + m. In der 

 schon citirten Note in Math. Ann., Ilter Bd., lieferte ich den 

 ersten Beweis einiger früher von Laguerre (Comptes rendus, 

 Bd. LX p. 70) in etwas abweichender Form ausgesprochenen, 

 übrigens von mir selbständig gefundenen Sätze vom Pro- 



m-|-u 



ducte n Wi der vom Punkte P aus gezogenen Normalen. 



1 



Seien JB^ die Brennpunkte, «i die Asymptoten der Kurve und 

 ^i die Längen der von P aus gezogenen Tangenten, dann 

 bekommt man : 



m-|-n m mn , 



n Wi = {Ph). n PBi = nti. n Pa,. 

 1 1 11 



Der Beweis ist in der gewöhnlichen Weise zu führen. 

 Es wurde übrigens bemerkt, dass die Identität der beiden 

 ersten Ausdrücke noch besteht, wenn die Kurve parabolische, 

 so wie die Identität der Isten und 3ten noch, wenn die Kurve 

 focale Zweige bekommt, wenn man sich nur auf endliche 

 Elemente beschränkt. 



102, Im Artikel in Bul. d. l. Soc. Math, gab ich eine 

 beträchtliche Erweiterung dieser Sätze. 



Es seien k^ -:- K^^ und fc'n- =^ K'^^- zwei Kurven, deren 

 Brennpunkte bez. Bi und ^'i, Asymptoten a-y und a'i; dann 

 ist das Product aller mn' +m'n + mm' gemeinschaftlichen Nor- 

 malen Wi, jede zwischen beiden Fusspunkten gerechnet: 



mn'+m'n+mni n n' mm' 



n n, = n{a,K'). n{a\K). Hti, 

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