Ein Paar synthetiscbe Methoden. 337 



110. Man denke sich zunächst die Veränderung, welche 

 die Formel erleidet, indem eine Asymptote «i sich zum Pa- 

 rallelismus mit einer ai' nähert; diese Veränderung tritt offen- 

 bar nur im Zähler des rechten Gliedes ein, Wird die aus- 

 gezeichnete Asymptotenrichtung a^ und der Abstand der bei- 



den Parallelen a^aQ genannt, bekommt man den Grenzwerth 

 des Productes von dem verschwindenden Factor inJTsinßiaj 

 und dem unendlichen in UFig: 



a^a^' sin^a,, ■» « . sin ^ga^ , 



wo s das auf g zwischen üq und üq begrenzte Segment be- 

 zeichnet. 



Denkt man sich nun die beiden Kurven congruent und 

 dergestalt gelegen, dass die eine nach einer Translation 

 um einer Streche s längs der Geraden g die andere decken 

 wird, bekommt man: 



n^ — n n^ — n n 



JJ2 n sin Œiuj . U Fiff . n sin^^öfi 



nSiSi'^'s--^ —^ '- , 



^ JTsin^e»-!)^«! 



wo nur endliche Factoren zurückstehen. 



Hier bemerkt man, dass das linke Glied offenbar den 

 Factor s° enthält, der somit ausgeschieden werden kann. 

 Wenn also die Indexe i und j für homologe Punkte gleich 

 sind, hat man : 



n(n-l) n(n-l) 



^ n(n-l) nSmaiOj n Fiff 



i^j, ' n SiS,'= -^ Î — . 



^ /7sin2(°-i)^ai 



Diese Formel gilt unabhängig von der Grösse s, die sie 

 nicht mehr enthält. Man kann daher 5=0 setzen, o: die 

 Kurven zur Deckung bringen. Es spaltet sich dann das 

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