Ein Paar synthetische Methoden. 357 



hedingungen desselben vollständig untersucht werden können', 

 namentlich ist es wiclitig- zu erkennen, dass ein unendliches 

 Element (oc P, oo i oder oo jf) nicht einen solchen Fall 

 mitführt. Dann steht der Weg zur Kegelschnittslehre fol- 

 gendermassen offen : 



3. Wenn ÄBCD vier feste Punkte einer Kurve 2ter O. 

 sind und P ein beweglicher Punkt derselben, dann bleibt das 

 Dopp elv erhältniss : 



P{ABCD) 

 constant. 



Denn, dass es verschwindet, führt nothwendig dazu, 

 dass PAG oder PBD auf einer Geraden liegen, was gegen 

 die Definition der Ordnung ist. 



Hieraus können bekanntlich alle Kegelschnittseigenschaf- 

 ten nach und nach abgeleitet werden, z. B.: 



Es seien P ein auf k.^ nicht gelegener Punkt, A und B 

 die Berührungspunkte zweier der von P an k^ zu ziehenden 

 Tangenten, indem die Classe eines k^ von vornherein als 

 grösser als 1 angenommen werden darf. Eine willkürliche 

 Sécante durch P schneide fcg in C und D und die Gerade 

 AB in Q, dann ist: 



A (ABCD) = A (PQCD) 



B {ABGD) = B {QPCD) 

 d. h.: 



{PQGD) = ( qPGD) = — 1 



oder Q und P harmonisch zu C und D. Hieraus folgt die 

 Lehre von Pol und Polare. Beiläufig erhält man auch die 

 Classe = 2; wenn nämlich A' der Contactpunkt einer dritten 

 Tangente durch P wäre, musste nach dem vorigen A'B durch 

 Q, gehen o: A' AB in einer Geraden liegen, was der Ordnungs- 

 zahl widerspricht. 



4. Die Ordnungszahl 2 leitet ebenfalls zu den in Art. 80 

 angegebenen Ausdrücken für Invarianten, deren Verschwinden 



