Ueber gewöhnliche Differentialgleichungen, die eine 

 Gruppe von Transformationen gestatten 



von 

 Sophus Lie. 



JLch gebe im Folgenden ein kurzes Resume von einer 

 Abhandlung, die im nächsten Bande erscheinen wird. 



Gestattet eine Differentialgleichung fiœy . . . y™)) = 

 eine Gruppe G^ (von Punkttransformationen) mit r Parameter, 

 so findet man diese Gruppe, wenn G^ k^ine Curvenschaar 

 q}{ooy) = a invariant lässt, entweder durch Integration einer 

 linearen Grleichung 2. 0. (wenn r = 5 oder 6) oder durch In- 

 tegration einer linearen Gleichung 3. 0. (wenn t = 8). Lässt 

 die Gruppe eine und nur eine Schaar ^ = a invariant, und 

 wird dabei cp nullgliedrig transformirt, so verlangt die Be- 

 stimmung der Gruppe Gr: entweder die Integration einer lin. 

 und homogenen Gleichung y'*"" Ordnung (Typus {X^q) oder 

 die Integration einer solchen Gleichung von {r — l)*«i' Ord- 

 nung (Typus X^q, yq, oder q, yg_, y^^q). Wird ^eingliedrig 

 oder zweigliedrig transformirt, so findet man die Gruppe 

 durch successive Quadraturen. Wird ap dreigliedrig trans- 

 formirt, so integrirt man eine lin, Gleichung 2. 0. Giebt es 

 zwei invariante Schaaren cp-^q)^, so findet man die Gruppe 

 durch Quadratur, wenn weder q)-y noch cp,^ mehr als zwei- 

 gliedrig transformirt wird; sonst integrirt man eine oder zwei 

 lin. Gleichungen 2. 0. Giebt es oo viele Schaaren cp, so ge- 



