444 Sophus Lie. Ueber Düferentialgleichungen. 



niigt Quadratur, wenn r = 1, und wenn r <= 2 (Typus 

 j), a^p + Xyq) ; dagegen integrirt man eine lin. Gleichung 

 2. 0. wenn r = 3 oder r = 2 (Typus pq). 



Ist die Gruppe gefunden, so bringt man dieselbe im All- 

 gemeinen leicht auf ihre canonische Form; nur in den Fäl- 

 len q] qyq'i ?j 2/ö'j y^^} die wir hier der Kürze wegen nicht 

 näher betrachten, wird die Integration einer Gleichung 1. 0. 

 erforderlich. 



Gestattet eine vorgelegte Gleichung /m = eine bekannte 

 canonische Gruppe G,-, s 3 kann die Integration ohne weiter 

 geleistet werden, wenn r >m. Den Fall m>r reducirt man 

 durch Integrationen einer Gleichung {m — rf^^ Ordnung auf 

 den Fall m = r. Der Fall m ■= r verlangt nie schwierigere 

 Integration als die Bestimmung der betreffenden Gruppe 

 nach dem Obenstehenden schon verlangt hat. Hat die 

 Gruppe eine unter den Formen Xs.q\ X\q,yq\ iJ,q\ p, q, ccp+yq, 

 so genügen Quadraturen. 



Die hiermit in Detail skizzirte Theorie kündigte ich in 

 Göttinger Nachr. 1874 wie auch bei vielen späteren Gelegen- 

 heiten an. Ein ausführliches Eesumé gab ich 3. Novbr. 1882 

 in Société mathématique de France. 



Aehnliche Theorien beziehen sich überhaupt auf die Be- 

 stimmung von Gruppen, auf die Integration von Differential- 

 gleichungen /m =0 die eine Gruppe von i^mi/irww^stransforma- 

 tionen gestatten; endlich auf vollständige Systeme mit einer 

 vorgelegten Gruppe (Vergl. Math. Ann. Bd. XI und XVI). 



Decbr. 1882. 



