Meddelelser fra Det mathematiske seminar i Kristiania. III. 251 



A x e 1 Thue: Om irrationaliteten af tallet e. 



(Foredraget 27de oktbr.) 



Liouville var som bekjendt den første, hvem det 

 lykkedes at bevise, at grundtallet i det naturlige logarithme- 

 system ikke er nogen rational størrelse, ja ikke engang rod 

 i nogen ligning af anden grad med rationale koefficienter. 



Senere har Hermite i en høist merkværdig afhandling 

 paavist, at dette ogsaa fremdeles gjælder, om gradtallet 2 

 ombyttes med gradtallet n. 



I det efterfølgende skal vi gjennem en generalisation 

 af Liouvilles méthode godtgjøre, at heller ikke e 2 kan være 

 rod i nogen ligning af anden grad. 



Vi paastaar altsaa, at der ikke kan existere nogen 

 ligning af formen 



ae é -f- ye 2 -f" Y = 



eller ae* -f ye ~ 2 = — ß 



naar «, ß og y er hele tal, positive eller negative. 

 Var nemlig saa tilfælde, fik man 



L + 1 + 1.2 +••• + (», — 1)! + m'. e J + 



r 2 2 2 Om—l 



Om 1 



i>e>o i > x > o 



Alle de her optrædende brøker kan nu forkortes, til 

 ingen af nævnerne indeholder nogen faktor 2, medens tællerne 

 selv for noksaa store værdier af m kan synke helt ned til 

 tallet 2. 



