Arnold Peter. 



zu beweisen (vgl. Ä. Enneper, Zur Theorie der Flächen, 

 Math. Ann. II, j)Cig- 596, Anm.). 



AVir gehen aus von zwei unendlich benachbarten Tangential- 

 ebenen längs einer Haupttangentenkurve: 



dz — p dx — q dy = 0; dp dx -[- dq dy = 0. 



Diese Tangentialebenen sind bekanntlich zugleich zwei 

 unendlich benachbarte Oskulationsebenen der Kurve. Der 

 Winkel zwischen ihnen ist gegeben durch: 



^,, (1 + P^) dq^ + (1 + q^) dp^ - 2 pq dp dq 

 (l+p2 + q2)2 



Aus der Gleichung 



r dx2 4- 2 s dx dy + t dy2 = 



folgt aber für zwei durch einen Punkt x y z der Fläche 

 gezogenen Haupttangentenkurven : 



dy — s =b V&^ — rt , dx — s zp l^s^ — rt 



-^=: , bez. -i- = ' — - 



dx t ' dy r 



Also wird: 



dp = r dx -f s dy = qr Ks^ — rt . dy 



dq = s dx -|- t dy = dr y s'^ — rt . dx. 



Die Einsetzung dieser Werte in den Ausdruck für dÖ 

 crgiebt: 



d{> = ± V"(i + P^) àx^ + (1 + q^) dy^ + 2 pq dx dy yW^:^ 



1 + p2 -f q'^ 



Nun gilt aber für das Bogenelement ds unserer Haupt- 

 tangentenkurve : 



ds = Våk^ + dy'^ + dz2 



= f dx2 -f dy'-^ + (p dx -f- q dy)'^ 



= V{1 + p'-^) dx'^ + (1 + q'"") dy2 + 2 pq dx dy. 



