Die Flächen, deren Haupttang.kurven lin. Kompl. angeli. 9 



Schar gehört nicht nur einem Komplexe 1), sondern auch 

 vermöge 1) und: 



8) S(a'y — b'x + y')dz = 

 dem zugehörigen unendlich benachbarten Komplexe: 



S (ay — bx + y) dz + da . S (a'y - b'x + y') dz = 0- 



an. 1) und 8) bestimmen aber in der That einen Linienkom- 

 plex und zwar den Umhüllungskomplex von 1), den man sich 

 analytisch durch Elimination von aus 1) und 8) gegeben 

 denken kann. 



Damit ist unser Satz bewiesen. Einen geometrischen 

 Beweis ergiebt die folgende Erwägung: Zwei benachbarte 

 Tangentialebenen längs* einer Haupttangentenkurve schneiden 

 sich ja als ihre Oskulationsebenen in der Haupttangente, die 

 somit für unsere zweite Schar zwei benachbarten Komplexen 

 angehören muss. 



Endlich wollen wir am Sehluss dieses Paragraphen noch 

 zeigen, welcher Zusammenhang zwischen den beiden Scharen 

 Haupttangentenkurven unserer Flächen und ihren Monge'schen 

 Charakteristiken besteht. 



Ist : F (x y z p q) = 



eine beliebige DifPerentialgleichuug erster Ordnung, so ist die 

 Richtung der Monge^schen Charakteristiken auf den Integral- 

 flachen gegeben durch: 



dx-F'p 



(vgl. Monge: Application de V analyse à la géométrie, pag. 53 ff.). 

 Schreiben wir die Gleichungen 3) in der Form: 



(ay — bx + y) p + (bz _ cy + a) = 

 (ay - bx + y) q + (cx — az + ß) = 0, 



und denken wir uns unsere Differentialgleichung erster Ordnung 



