Die Flächen, deren Haupttang.kurven lin. Kompl. angeli. ' 13 

 Die Addition giebt uumittelbar: 



ap 4- bq — c âp — ^ bq — c Saä -\- Säa 



ay — bx + Y äy — bx — y (ay — bx -j- y) (äy — ■ bx -|- f ) 



und unsere Bedingungsgleicbung wird zu: 

 12) Saä + Säa =- 0. 



Diese Gleichung muss vermöge ihrer Ableitung offenbar 

 für jeden Wert von & und Ö gelten. Den oo- Werten dieser 

 Parameter entsprechen die oo^ Punkte einer Integralfläche der- 

 art, dass für einen jeden Punkt der Fläche die Tangenten der 

 durch ihn gehenden beiden Haupttangentenkurven zu den Ge- 

 raden eines Komplexes und eines Ö gehören. 



Um nun weiterhin zu zeigen, dass in der That vermöge 

 12) unsere beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung sich 

 auf eine reduzieren, die dann naturgemäss frei von jeder will- 

 kürlichen Funktion ist und die beiden aus 11) sich ergebenden 

 Differentialgleichungen erster Ordnung zu intermediären Inte- 

 gralen hat, müssen wir auf die Gleichung 12) etwas näher ein- 

 gehen. Man kann offenbar, ohne unser Problem dadurch zu 

 beschränken, stets eine der Grössen a, b, c, a, ß, y gleich 1 

 und eine gleich Ù und ebenso eine der Grössen ä, b, c, ä, ß, f 

 gleich 1 und eine gleich d setzen. Welche der Funktionen 

 man wählt, ist offenbar ganz gleichgiltig. 



Nun wollen wir die Gleichung 12) etwas näher ins Auge 

 fassen. Wir setzen: 



c = y = 1, b = D, p == d, a = f 1 (i}), oc = f 2 (â), wo f ^ und f,, 

 zwei ganz beliebige Funktionen ihrer Argumente bedeuten Die 

 Gleichung 12) erhält jetzt die Form: 



13) fi !d). f,ß) -f {}{> + 1 + Saa = 0. 



Nun beweisen wir zunächst den folgenden allgemeinen 

 Satz: 



