Die Fläch en, deren Haupttang.kurven lin. Kompl. angeh. 27 



intermediäre Integrale einer Differentialgleichung zweiter Ord- 

 nung, so muss gelten: 



29) [(t)i(D2j=C(DiA(D2— C^DsAOi+DOiBO,— D(I>2B(Di=0 

 vermöge: ^j = 0, 02=0, wo: 



30) 



AF=^ , dF^ 

 dx dz' 



dF dF 



BF=^,- +q^ 



dy ^^'^-■ 



dz ' 



dp dq 



Die Bedingung 29) ist in der That für die Differential- 

 gleichungen 25) bez. 26) erfüllt. Zugleich ist sie aber die 

 Bedingung dafür, dass diese Differentialgleichungen gemeinsame 

 Lösungen besitzen, so dass es also Flächen von der gesuchten 

 Beschaffenheit wirklich giebt. 



Endlich wollen wir noch zeigen, dass unsere Bedingung: 



vermöge (b^=0, ^2 = identisch ist mit der Involutions- 

 bedingung: 



S aä -]- S äa = 0. 



Wir gehen aus von der Form: 



11) 



(ay — bx -|- c) p -[- bz — cy -j- '^ = ^ 



(ay — bx -j- c) q -|- ex — az -]- ß = 



(äy — bx + c) p -|- bz — cy -j- öc = 

 (äy — bx 4- c) q -|- ex — äz -|- ß == 



unserer Differentialgleichungen in den Parametern und d. Die 

 linken Seiten aufgefasst als Funktionen von d bez. Ö bezeichnen 

 wir durch cpj(i>), '\>i{f^), bez. 'f ^C^)? 'Kl^)- Durch Differentiation 



