Die Flächen, deren Haupttang.kurven lin. Kompl. angeh. 29 



Dieser Ausdruck würde dann auch verschwinden und 

 unsere beiden aus 11) hervorgehenden Diiferentialgleichungen 

 würden nach p und q nicht auflösbar sein, ein Fall der natür,- 

 lich ausgeschlossen ist. Die Bedingung: 



vermöge 11) führt also zu der Gleichung: 



(ay — bx + y) (äp + bq — c) + (äy — bx + y) (ap + bq — c) = 0, 



eine Relation, die, wie wir bereits gesehen haben, in die 

 Bedingungsgleichung : 



S aä -j- S äa = 



übergeführt werden kann. 



§ 5. 

 Die Integration. 



In Betreff des allgemeinen Falles haben wir nun noch zu 

 zeigen, dass es immer möglich ist, die gemeinsamen Lösungen 

 von 26) durch algebraische Operationen und eine Quadratur 

 zu finden. Zu diesem Zwecke bestimmen wir zunächst eine 

 gewisse infinitesimale Berührungstransformation, die unsere 

 Differentialgleichung zweiter Ordnung 28) invariant lässt, zu- 

 gleich aber auch ihre intermediären Integrale in sich über- 

 führt. In einer kurzen Note (Arch, for Math, og Naturv. VI, 

 Christiania, 1881, jpag. 153 — 167) bestimmt Herr Lie alle 

 infinitesimalen Berührungstransformationen, welche die Differen- 

 tialgleichung der Flächen konstanter Krümmung in sich über- 

 führen. In ganz der gleichen Weise wollen wir dies für die 

 Gleichung : 



28) s2— rt=a>2 



