52 Arnold Peter. 



W = (z — xy) Vo) 



ist, und für o^ sowie cp^ die linken Seiten von 26') zu sub- 

 stituieren sind. Die Voraussetzungen des allgemeinen Satzes 

 sind, wie wir gesehen haben, hier erfüllt. Es ist also, die 

 Substitutionen der Auflösungen von 26) nach p und q wieder 

 durch " bezeichnet: 



L 



(z-xy)V;(^^~P^^-^dy) 



ein vollständiges Diiferentia], und die gemeinsamen Lösungen 

 jener Gleichungen, also die Flächen unseres Problems sind 

 gegeben durch die Quadratur: 



*^' / 



dz — pdx — qdy 



i ^^ = const. 



Die Bestimmung aller Flächen, deren Haupttangentenkurveu 

 beider Scharen je oo^ linearen Komplexen angehören, hängt 

 also nur von algebraischen Operationen und einer Quadratur ab. 



Ehe wir nun zu den Spezialfällen übergehen, sei es 

 gestattet, die hauptsächlichsten Resultate nochmals zusammen- 

 zufassen zu dem folgenden 



Theorem: »Jede Fläche, deren Haupttangentenkurven 

 beider Scharen je oc^ linearen Komplexen angehören, steht in 

 einer charakteristischen Beziehung zu einer Fläche zweiten 

 Grades. Ist diese irreduzibel, so kann man ihr z. B. die 

 Normalform : 



z — xy = 



geben. Die Differentialgleichung zweiter Ordnung der gesuchten 

 Flächen erhält dann die Form: 



s2 - rt = rLZL^^lZZll±M 



).' 



