58 Arnold Peter. 



Die Differentialgleichungen erster Ordnung erhalten dann 

 die Form: 



^ -T ^. \^ + <!/ X — q Vx — • q/ 



die wir uns offenbar nach (x -j- q) und (x — ■ q) aufgelösst den- 

 ken können. Wir schreiben sie also: 



x4-q = ?i(y — P); X — q = cp2(y + p). 



Da sie z gar nicht mehr enthalten, müssen ihre Auflösun- 

 gen nach p und q, eingesetzt in 



dz — pdx — qdy, 



diesen Ausdruck ohne weiteres zu einem vollständigen Dif- 

 ferential machen. Die Lösungen giebt uns jetzt die Quadratur: 



A A 



Z — /(pdx -]- qdy) = const. 



Die zu der letzten Form gehörende Differentialgleichung 

 zweiter Ordnung ist: 



s2 _ rt = 1. 



Wir sind aber mit dem Fall einer Doppelebene noch nicht 

 zu Ende. Nehmen wir die drei Komplexe: 



ydz — zdy -}- dx = 0, zdx — xdz = 0, xdy — ydx = 0, 



so gehören die ihnen gemeinsamen Geraden in der That der 

 Doppelebene : 



x'^=:0 



an, und zwar sind diese Geraden die ooi Geraden dieser Ebene * 

 durch den Anfangspunkt: 



x = 0, y=:0, z = 0. 



