Die Flächen, deren Haupttang.kurven lin. Kompl. angeh. 77 



68) dP (dY + QdZ) - dQ (dX + PdZ) = 



= dP (dX + 2 QdZ) — dQ (dY + 2 PdZ) = 

 = dX [(1 + 2 PQ) dP — 2 P2dQ] — 



— dY [(1 + 2 PQ) dQ — 2 Q2dP] = 0. 



Wir zeigen zunächst, dass unsere Berührungstransformation 

 die Gleichung 68) (in der letzten Form) in 67) überführt. 68) 

 lässt sich nach Division durch (1 -[-^PQ)! schreiben: 



_ P _ Q 



dX.d .. ir^ — dY.d ,, :r^ =0. 



Vl-f4PQ V1-I-4PQ 



Lösen wir 61') und 66) nach X Y^ Z P Q auf, so erhal- 

 ten wir: 



^^ ^(z- xp-yq) — zq y = ^1±J, /^Z = — ^^2_iZi\ 

 X — q ' X — q'V X — q/ 



1 ^ xq 



-, Q=- 



X -}- q X 4- q' 



also: Vr^p^^l^. 



Zunächst setzen wir nun in unsere Gleichung ein: 

 = d-JL_^_dx-dq 



V1+4PQ ^-^1 (X— q)^ 



, Q /i ^q x^dq — q^dx 



' Vr+4PQ~ x-q- (x-q)2 



Dadurch erhält man: 



(dX + q2dY) dx — (dX + x2dY) dq = 



= d (X + q2Y) dx _ d (X -f x2Y) dc^ -f 2 (x - q) Y dx dq = 0. 



