6 Axel Thue. 



U(x)=^£^=P(x)-Q(x) (1) 



P(l)=l, Q(l) = p. (2) 



Sættes X — 1 = y 



i lisninsen: n 



X— 1 



saa faaes : 



u(x) = ÖL±^l.= /-'+P-R(y), 



hvor R (y) er en hel funktion i y med hele koefficienter. 

 Er følgelig n et helt tal, som er mindre end p — 1, 

 saa blir U>) = p ■ R>). (3) 



For ethvert helt positivt n, som er mindre end p — 1, 

 blir altså a U (1) et med p deleligt helt tal. 



Vi skal saa bevise, at for x = 1 blir alle deriverte af 

 Q (x) hele tal, som er delelige med p. 



Af (1) erholdes successive: 



Lr(x) = P(x)Q'(x)-hP'(x)Q(x) 



Unx)^P(x)Qnx) + a,F(x)Q'"-V)+ + 



-fa,p-""%)Q'(x)+p'V)-Q(4 

 eller, om x sættes lig 1 og P(l) erstattes med 1: 



U'(1)=Q'(1) + P'(1)Q(1) 



U>)^Q>) + a,P'(l)Q^"->)+ + !(^^ 



+ a,p'"-'\l)Q'(l) + P>)Q(l), 

 hvor koefficienterne a er hele tal. 



