Mindre mathematlske meddelelser. III. 13 



Denne koefficientbestenimelse falder imidlertid, som vi 

 skal se, særlig let, naar f(x) enten bare indeholder lige 

 potenser af x eller bare ulige potenser. 



Sats 1: Er f (x) en huilkensomhelst hel funktion af m' te 

 grad i x indeholdende enten bare lige eller bare ulige potenser 

 af argumentet, da kan man altid bestemme en hel funktion 

 U(y) a f m -j- V te grad i y saaledes, at 



U(2x + l)-U(2x-l) = f(x) (3) 



og saaledes, at U(y) indeholder bare ulige eller lige potenser 

 af y, eftersom f (x) indeholder bare lige eller ulige potenser af x. 



Først kan man nemlig bestemme en saadan hel funk- 

 tion F (x) af m -f- 1'te grad i x, at: 



f(x) = F(x-f l)-F(x) (4) 



Derpaa kan \i bestemme en saadan hel funktion R(y) 

 af m -|- rte grad i y, at: 



F(x) = R(2x— 1). 

 Idet P(y) betegner summen af alle de led i R(y), som 

 indeholder y i en lige potens, og Q (y) summen af alle de 

 resterende led, saa blir altsaa 



F(x) = P(2x-l) + Q(2x-l). 

 Indsættes dette i (4) faaes saaledes: 



f(x) = P(2x + 1) - P(2x _ 1) + Q(2x + 1) - Q(2x- 1) (5) 



f(-x) = P[-(2x-l)]-P[-(2x + l)]-fQ[-(2x-l)]-Q [-(2x4-1)] 



eller 

 f(-x) = -P(2x + 1) 4- P(2x - 1) -f Q(2x -f- 1) - Q(2x - 1) (6) 



Indeholder f(x) kun lige potenser af x, saa faar man 



af (5) og (6): 



