14 Axel Thue. 



P(2x-|- 1) — P(2x— 1) = 



f(x) = Q(2x + l) — Q(2x-1). 



Var derimod f (x) kun sammensat af ulige potenser af x, 

 saa fik man af de samme ligninger: 



Q(2x4-1)-Q(2x— 1) = 



f(x) = P(2x-f 1) — P(2x— 1). 



Da 



S = U(2n + l)-U(l), (7) 



finder man - — ved de nævnte funktioner f (x) — summen 

 S meget lettere ved at løse (3) istedenfor (1). 



Medens nemlig F (x) efter omstændighederne indeholder 

 2 m eller 2 m -|- 1 koefficienter, saa indeholder U (y) blot 

 m eller m -|- 1 saadanne. 



Findes der blot ulige potenser af x i f (x), som er af 

 2 m — : rte grad, saa har vi altsaa: 



f(x) = U(2x+l)-U(2x-l), 



hvor U(y) kun indeholder lige potenser af y og er af 

 2m'te grad. 



Her blir saaledes: 



U(y)--G(y^) 



eller 



U(2x— 1) = G[(2x— 1)2] = H(x2 — x), 



hvor H(z) blot er af m'te grad i z. 



I det her nævnte tilfælde kan altsaa S bestemmes, idet 

 man istedenfor (3) løser ligningen- 



f(x) = H(x2-f x)-H(x2-x). (8) 



Vi faar da: 



S = H(n2 + n) — H(0). (9) 



