18 Axel Thue. 



Efter dette blir altsaa : 



„+i _ (2n+l)(n) « _ JL+2_ n+, 



°q+l (2q+l)(ci + l) 9 4q + 2 1+2 ^ ' 



Er i (a) f(x)^x™, saa vil anden hver koefficient «A» i (/i) med 

 undtagelse af Am blive lig nul, eller: 



Am— 2 = Am— 4 = Am— 6 = ■••■= 0. 



Da nemlig Ai ifølge (12) blir lig nul for ethvert ulige m, som er 

 ^ 1, saa kan satsen udledes ved gjentagende gange at derivere (1) ved 

 nævnte f(x). 



V. 

 Et theorem om rodderne I visse hele funktioner. 



Er det hele tal Sm defmeret ved ligningerne 



Sn + 1 =^ a Sn -r b Sn - 1 + — -j- h Sn - k, So = H, 

 S;l = K, . . . ., Sk = A, 



hvor a, b, . . . ., h, A . . . . K, H er hele tal, og et af disse 

 tal Sm er lig nul, da findes der uendelig mange tal S, som 

 er delelig med et hvilketsomhelst opgivel tal p, der er ind- 

 byrdes primtal med h. 



For at bevise denne sats, sætter vi: 



Sm = am-p+Rm, (1) 



hvor Om og Rm er hele tal, og 



< Rm < p. 

 Vi faar da : 



Rn + i = aRn+ bRn-1 -\ + hRn_k(modp) (2) 



Nu findes der, som man strax ser, ikke flere end p'^f ^ 

 forskjellige rækker Ry, Ry-i-i, — Ry + k af k -[- 1 paa hin- 

 anden følgende rester R. 



