30 Axel Thue. 



Her blir altsaa: 



a = ab + n Kam ß = nm ± Kam, (12) 



hvor ab mn er yilkaarlige hele tal. 



Var ingen af faktorerne i (6) og (7) lig nul, kan man 



sætte : 



F _ C _ D — E _ p 



B ~~ E ~ F — A q' (13) 



hvor p og q er indbyrdes primtal. 



Disse ligninger løses i hele tal ved at sætte : 

 A = pb — qa, B = qb, C = — pc, 



D = pa — qc, E = — qc, F = pb. 



Indsættes disse værdier i (3), (4) og (5) faaes: 



2pb — qaiqj/a^ — 4bc 



2 (14) 



pa — 2qc + pKa^ — 4bc 



(15) 



r 2 



hvor a, b og c er vilkaarlige hele tal og p og q to vil- 

 kaarlige indbyrdes primtal. 



De her fundne værdier for a og ß vilde ogsaa tilfreds- 

 stille (3), (4) og (5), om p og q var to vilkaarlige tal. 



Sætter man i (14) og (15) p = 0, saa faaes løsning (11), 

 og sættes q = i (14) og (15) faaes løsning (10). 



Var a^ — 4b c eller 4b c — a^ ikke noget kvadrattal, 

 saa fandtes der ikke to fra nul forskjellige hele tal x og y 



for hvilke 



xa == yß. 



I modsat fald blev jo: 



x(2pb — qa) = y(pa — 2qc) (16) 



xq = yp- (1^) 



