36 Axel Thue. 



Vi bemærker, at de i begyndelsen om de hele tal af 

 formen U anførte sætninger (1) og (2) er beviste uden an- 

 vendelse af nogen theori for disse tals opløsning i faktorer. 



Vi skal yderligere ved et lignende ræsonnement bevise 

 en sats af samme art som (1). 



For simpelheds skyld vil vi nøie os med det trivielle 

 tilfælde, da satsen kun vedrører vanlige hele tal. 



n 



Sats 5. Er x og j to hele tal og ligesaa V^xy, hvor n 

 er et helt positivt tal, og det desuden er umulig at finde 

 to slige hele tal a og b, at 



ax = by, (33) 



n 



hvor a<y og altsaa ogsaa b < x, da maa baade l/x og 



n 



]/^ være hele tal. 



Dette kan bevises, uden benyttelse af sætninger om 

 disse tals opløsning i faktorer, paa følgende maade : 



Hjælpesats. Er p og q to vilkaarlige hele positive 

 tal, da existerer der i hele tal A og B ingen ligning : 



AxP-B/i, (34) 



i hvilken < A < y'' og hvor altsaa ogsaa : 0<B<x^, naar 

 x og y har de ovenfor omtalte positive hele værdier. 



Det er tilstrækkelig at godtgjøre, at existensen af en 

 saadan ligning, i hvilken p 4- (f > 2, altid vil medføre en 

 ny af samme sort, hvori summen af exponenterne er mindre, 

 men større end 1. 



Er til ex. q ikke mindre end p, saa sætter vi 



A = ay + ß, 

 hvor a er et helt tal, og < ,-5 < y. 



