40 Axel Thue. 



n n 



Sætter vi nemlig Kx"~^ = P og Vy = Q, 



hvor Q ligger mellem 2k — 1 og 2k, saa kan man danne 

 ligningerne: P — h-^Q = \\ 



2P — h.,Q = r,, " ! 



^(37) 



kP-h,Q=r„ 

 hvor talværdien til hver af de positive og negative rester 

 r er mindre end -— eller k, og hvor størrelserne h er posi- 

 tive eller negative hele tal. 



Paa samme vis som ved vort tidligere ræsonnement 

 indser man, at alle resterne r har forskjellige talværdier, 

 og at ingen af dem er lig nul. 



Havde saaledes til ex. resterne r og r, samme tal- 



s ~ t 



værdi, saa blev jo : 



(s±t)P = (h^±h^)Q, 



hvor tegnet + var -|- eller — , alt eftersom resterne havde 

 modsat eller samme tegn. 



Videre laa talværdien af s ::^ t mellem og Q. 



Var nu ingen af resterne r i talværdi mindre end 1, 



saa laa altsaa alle de k resters talværdier mellem 1 og —. 



Der maatte da findes mindst to rester, hvis talværdier 

 havde en positiv différents, som var mindre end 1. 



Subtraheres eller adderes de to tilsvarende ligninger, 

 eftersom resterne har samme eller modsat tegn, saa fik 

 man to saadanne hele tal a og b at: 



-<aP — bQ <:: 1 

 eller 



^ [aP — bQ]^< 1. 



Men dette er umuligt, da [aP — bQ]" er et helt tal. 



Da ingen af resterne r af samme grund heller ikke 



kan være mindre end 1, er vor paastand herved bevist. 



