Et par theoremer om legemers opstykning i de samme dele. 27 



Sætter vi definitionsmæssig : 



^1 = 1, Oi = l (5) 



Pn+l = h{Qn-{-Pn) (6) 



Qn+l = hQn — kPn. (7) 



saa blir alle P og Q hele tal, og man faar: 



Vi bemærker her strax, at intet Q kan blive delelig 

 med nogen faktor i k. 



Var nemlig saa tilfælde med til ex. Q,„ , saa kom efter 

 (7) det samme ogsaa til at gjælde for Qm-i og følgelig 

 ogsaa for Q^ = 1. 



Intet Qn kan saaledes blive lig nul og intet Un uen- 

 delig stort for nogen hel værdi af n, naar k^-h. 



Af (4) faaes: 



Un{h~\-kUn+l) = h{Un+l-l). 



Da Un ikke er uendelig, saa kan h-\-kUn-\-i ikke blive 

 nul, da man jo i saa fald fik Un-\-i = 1 = — y. 

 Vi har derfor for alle hele værdier af n : 



Var nu p den mindste fra forskjellige værdi af n, 



for hvilken man fik : 



Un = 0, 



saa erholdt man af (4) og (9) 



Uq^Up^,= 0. (10) 



Gjælder nemlig denne ligning for q = m , eller har 

 man : 



