4 Alf Guldberg. 



On aura l'équation aux différences qui en résulte, en 

 éliminant ces deux constantes au moyen des trois équa- 

 tions 

 F{x, y, a, b) = 0, AF{x, y, a, h) = 0, <P{a, h) = 0. 



Donc si l'on tire des deux premières les valeurs de 

 a et i» en fonction de x , y , A y * et qu'on désigne ces 



valeurs par 



cp{x,y,Ay) et ip[x,y,Ây), 



on aura l'équation aux différences en substituant ces fonc- 

 tions à la place de a et h dans l'équation de condition 



Ainsi l'équation aux différences sera 



(P(99(x, y,ày), y^{x, y, Ay)) = 0. 

 Toute valeur de y en x qui satisfera à la même équa- 

 tion 



0{(p, y^) = 



et qui n'est comprise dans aucune de ses intégrales s'ap- 

 pelle une solution singulière. ** 

 Soit maintenant 



y = f[x) 

 une solution singulière donnée, on en tire 



Ay = Af[x). 

 En substituant f[x) et Af[x) au lieu de y eX. Ay dans 

 les fonctions 99 et ip , elles deviendront de simples fonc- 

 tions de x; et, éliminant x entre elles, on aura une équa- 

 tion entre cp et ip , que nous représenterons par 



Cp (ç9 , t/^) = . 



* Nous mettons toujours la différence J x égale à l'unité. 

 ** Poisson : Journal de l'École Poh^technique. T. 6, p. 61 — 62. Voir 

 aussi Lacroix : Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 

 seconde édition. T. III, p. 259, note. 



