Slir certaines équations aux différences. 9 



constituent une classe remarquable d'équations aux diffé- 

 rences dont l'intégration n'exige que des opérations algé 

 briques.* 



Pour le démontrer, soit d'abord 

 F{x,y,a,b) = 

 une équation quelconque en .r, y et deux constantes a et b. 

 En regardant ces constantes comme arbitraires, l'équation 

 dont il s'agit sera l'intégrale complète d'une équation aux 

 différences du second ordre en x, y, Ay , A^y , qui résul- 

 tera de l'élimination de a et ft au moyen des équations : 



F = 0, AF=0, A^F=0. 



Soit : 



f{x,y,Ay,Ahj) = 



le résultat de l'élimination. 



Si maintenant, l'on commence par tirer les valeurs de 



a et ft des deux équations 



F=0, ZlF=0 



et que ces valeurs soient représentées par les fonctions 



(p[x,y,Ay) et yj{x,y,Ay), 



il est clair que les deux équations 



a = (p{x, y, Ay), b = ip {x, y , Ay) , 

 où a et ft sont des constantes arbitraires, seront les deux 

 intégrales intermédiaires de l'équation précédente 

 f{x,y,Ay,A^y) = 0; 



* Lagrange a montré qu'une équation différentielle ordinaire d'une 

 telle forme possède toujours une solution singulière; c'est une pro- 

 position qui ne vaut plus à l'égard des équations aux différences 

 de même forme. C'est ce qu'on voit immédiatement, en consi- 

 déront l'équation aux différences 



y — xJij = Jy^, 

 qui ne possède aucune solution singulière. 



25 - Archiv for Math, og Naturv. B. XXV. 

 Trykt 28. Decbr. 1903. 



