Sur certaines équations aux différences. U 



Or, il s'agit, maintenant, de reconnaître à posteriori si 

 les fonctions données, dont se compose une équation pro- 

 posée, dépendent d'une même équation primaire, de manière 

 qu'elles puissent représenter les valeurs des constantes tirées 

 de cette équation et de ses équations aux différences. 



On observe tout de suite que l'on n'a pas ici une ana- 

 logie directe avec les équations différentielles correspon- 

 dantes. 



En effet une équation aux différences du premier ordre 

 (p{x,ij, Aij) = 

 ne donne pas en général une équation aux différences du 

 second ordre linéaire en A^y. 



On voit donc qu'il suffit que les fonctions données, 

 dont se compose l'équation aux différences proposée, soient 

 des intégrales intermédiaires d'une même équation aux diffé- 

 rences linéaire en la différence du plus haut ordre. 



Les équations aux différences que nous venons de 

 traiter forment un cas spécial de la classe d'équations aux 

 différences de la forme 



OÙ les (p-{x, y, Ay , •■■■ A'^y) sont les intégrales intermé- 

 diaires d'une équation aux différences d'ordre n-\-l linéaire 

 en A y. 



Si l'on a m = n-^-l on retrouve les équations aux 

 différences ici considérées. On voit immédiatement que 

 l'intégration d'une équation aux différences de la classe con- 

 sidérée exige, outre des éliminations, l'intégration d'une 

 équation aux différences d'ordre n - m -\- 1 . 



