Untergruppen der projectiven Gruppe dee linearen Complexes. 99 



Cap. 1. 



Zusammenhang zwischen der Gruppe von Berührungstransfor- 

 mationen der Ebene, der Gruppe des linearen Complexes und der conformen 

 Gruppe. — Classification der Untergruppen. 



§1- 

 Die grösste irreducible Gruppe von Berührungstrans-' 

 formationen^) der Ebene xs — die G-^q, wie sie in der Folge 

 stets genannt wird — ist die zehngliedrige 



■| 



p, g-f a;r, r, xçi-\-\x'^r, xp—yq, yp-^^y^r, xpAryq_^2zr, 

 (z — xy)p — \y'^q_ — \xißr, \x'^'p-\-zqA^xzr, 

 (xz—^x^y)pA-(yz—\xy'^)(l-^(z^—lx^y'^)r 



2f Y ¥ 



Ihre characteristischen Functionen^) lauten; 



1, X, y, x"^, xy, %ß, z—\xy, x(z—\xy), y{z—\xyX 

 (z-\xy)^ 



Nach einem Theorem von Lie^) giebt es in drei Veränder- 

 lichen zwei und nur zwei Typen solcher Gruppen von Punkt- 

 transformationen, welche mit der G-^q gleichzusammengesetzt 

 sind: nämlich die zehngliedrige projective Gruppe F^q 



»'l. Pi— ^i**i> îi+a^i»*!. a^iâîi, ^iPx—y^qx. yiPi, 

 ^iPi-{-yi2i+^^i^i^ ^i^i—^iC^iP^+y^q^+z^rj, 



2f 2f 2f 



^^ ^x^ ^^ 2^1 * ^z^ 

 die den linearen Complex 



dz-^-\-yidx-^ — ^if^yi = 

 invariant lässt, und die zehngliedrige Gruppe von confor- 

 men Punkttransformationen ©^o- 



n Trfgr. n, Th. 69, pag. 433. 



^) Trfgr. n, Cap. 14. Über Rechnung mit characteristischen Functionen 



siehe ebendaselbst. 

 3) Trfgr. II, Th. 77, pag. 460. 



