100 Emil Knothe. 



p, q, r, t)p— ïq, iq—X)X, jr— 3p, 



ïP+^q-fgr, (j;2_tj2_g2)p4.2ï9q+2ïâr, 



2j:çp+(p^-r^-â^)q+29âr, 



2s5p4-2%q+(52-^j2_^2)r 



Y 3/- 7if 



WO p ^ ^' q ^ V"^ r ^ ^■ 



1st für eine dieser drei Gruppen die Bestimmung aller ihrer 

 Untergruppen geleistet worden, so ist damit dasselbe Problem 

 auch für die beiden anderen Grruppen gelöst; denn zu jeder 

 Untergruppe der ersteren lassen sich die dieser innerhalb 

 •der anderen Gruppen entsprechenden Untergruppen sofort 

 angeben, wenn die drei zehngliedrigen holoedrisch isomorph 

 auf einander bezogen sind. Da es mithin hier für unsern 

 Zweck: gleichgültig ist, welche der Gruppen wir ins Auge 

 fassen, so werden wir im Folgenden des öfteren zwischen 

 den einzelnen Gruppen wechseln und die Untersuchungen 

 immer für diejenige Gruppe durchführen, für welche sich 

 dieselben am durchsichtigsten gestalten. 



Eine geeignete Classification aller Untergruppen und 

 ein hierauf gegründete Methode zur Bestimmung derselben 

 lässt sich in einfachster Weise für die F^q entwickeln, da 

 wir es bei ihr nur mit projectiven Transformationen zu 

 thun haben ^). 



Wir unterscheiden unter den Untergruppen der F^^ 

 zwei Kategorien, je nachdem sie einen Punkt des Rau- 

 mes invariant lassen oder nicht. Zunächst werden alle 

 Untergruppen der ersten Kategorie bestimmt. Zu dieser 

 gehören insbesondere alle zwei- und eingliedrigen Unter- 

 gruppen, denn sie lassen sämtlich mindestens einen Punkt 

 des Raumes in Ruhe. Die Aufgabe alle Untergruppen der 

 r'io zu ermitteln, bei denen kein Punkt invariant bleibt, 

 zerlegt sich wieder in drei Einzelaufgaben entsprechend 



^) Diese Classification rührt von Prof. Lie her. Vgl. anch Lie's, Ab- 

 handlung im Ark. f. Math, og Naturv. B. X. 



