Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 101 



den drei denkbaren Fällen, dass invariante Curven, ferner 

 invariante Flächen, aber keine invariante Curve und end- 

 lich überhaupt keine invariante Punktfigur vorhanden ist. 

 Bleibt bei einer Untergruppe eine Curve, aber kein Punkt 

 in Ruhe, so kann dies nur entweder eine ebene Curve oder 

 eine gewundene Curve dritter Ordnung sein ; denn nur diese 

 gestatten mehr als oo^ projective Transformationen des 

 ßaumes^). Aber auch die Möglichkeit, dass ebene krumme 

 Curven stehen bleiben, ist hierbei ausgeschlossen; alle ihre 

 Tangenten wären nämlich Compl exgerade, die Complexge- 

 raden einer Ebene bilden aber ein Strahlenbüschel. Es kann 

 sich also nur um gewundene Curven dritter Ordnung, die dem 

 Complex angehören, und um Gerade handeln. Unter den Ge- 

 raden des Raumes wieder ist zwischen Complexgeraden und 

 solchen, die den Complex nicht angehören, zu unterscheiden. 



Demgemäss werden erst alle Gruppen bestimmt, welche 

 eine dem Complex angehörige Curve dritter Ordnung, dann 

 die, welche Complexgerade, endlich die, welche Nichtcom- 

 plexgerade invariant lassen, ohne dass ein Punkt gleich- 

 zeitig in Ruhe bleibt. 



Ist dies geschehen, so erübrigt es noch die Unter- 

 gruppen aufzusuchen, die eine krumme Fläche, aber keine 

 Curve und keinen Punkt, und endlich die, welche keine 

 Punktfigur in Ruhe lassen. 



Eine ganz ähnliche Klassifikation lässt sich für die Gi^ 

 von Berührungstransformationen und die conforme Gruppe 

 Qô^Q entwickeln. Hierzu ist es nötig, kurz den Zusammenhang 

 zu besprechen, in dem die Giq und ®^q mit der -Tio") stehen. 



Führt man zunächst mit Hülfe der Substitutionen 



xijz als neue Veränderliche in die Pfafische Gleichung 

 (1) dz^ -|- y^äx^ — x^äy^ = 0, 



^) Klein und Lie, Comptes Rendus 1870. 

 ') Trfgr. IT. § 109. 



