102 Emil Knothe. 



die iinsern linearen Complex definiert, ein, so geht dieselbe 

 über in 



(2) dz—ydx = 0. . 



Jede Transformation, die den linearen Complex (1) invariant 

 lässt, verwandelt sich hierbei in eine Berührungstransfor- 

 mation der Ebene xz, die die Schar der oo^ Integralcurven 



(3) s = a — 2hx — cx^^yz= — 2h — 2cx 



der Pfaffschen Grleichung (3) in Ruhe lässt, wenn man xyz 

 als Punktcoordinaten im Paume deutet, also die Linien- 

 elemente der Ebene xz als Punkte in einem Räume von 3 

 Dimensionen abbildet. Die Schar (3) entspricht der Schar 

 der oo3 Complexgeraden 



(4) ^i =a — hx-^, y-^ ='b-\-cx^, 



die die Integralcurven von (1) darstellen, jeder Nichtcomplex- 

 geraden 



(5) z^ = /A-\-vx^ , ?/i = A+p^i (v^Ti^o) 

 eine Curve der Schar 



(6j z = fi-\-(v — Tijx — px^, y = — 2X — 2px, 

 jeder gewundenen Curve dritter Ordnung, die dem Complex 

 (1) angehört, eine gewundene Curve im Räume xyz, die der 

 Pfaffschen Grleichung (2) genügt. 



Demgemäss treffen wir für die Untergruppen der G-^q, 

 analog wie bei der F-^^q, die folgende Einteilung: erstens 

 alle, die einen Punkt xyz — oder ein Linienelement der 

 Ebene xz — stehen lassen, zweitens solche, die keinen 

 Punkt des Raumes xyz stehen lassen ; bei den letzteren sind 

 die Fälle möglich, dass eine gewundene Curve, oder eine 

 Integralcurve (3) oder eine Curve der Schar (6) in Ruhe bleibt 

 oder ein krumme Fläche oder endlich kein Punktgebilde. 



Auch die fö^o steht in einer einfachen Beziehung zur 

 r^Q^). Die r^Q lässt die Schar aller oo' Complexgeraden, 

 die wir in der Form schreiben: 



') Der im Folgenden eingeschlagene Weg schliesst sich eng an Trfgr. 

 I, Cap, 21. Theorem 72. 



