Untergruppen der project! ven Gruppe des linearen Complexes. 105 



den Untergruppen der F^q^ die eine Complexgerade, aber 

 keinen Punkt stehen lassen. 



Hiernach bleiben noch alle Untergruppen der @jq übrig, 

 die keinen Punkt des ÏÏÎ3 in sich überführen. Da es sich 

 zeigen wird, dass es keine Untergruppe der F-^q giebt, die 

 eine krumme Fläche, aber kein Curve und keinen Punkt 

 stehen lässt, und keine, bei der überhaupt kein Punktgebilde 

 in Ruhe bleibt, so sind dann nur noch drei Möglichkeiten 

 vorhanden: entweder bleibt eine Gerade in Ruhe, die den 

 unendlich fernen Kugelkreis schneidet, oder nur eine Kugel 

 oder endlich eine gewundene Curve, die dem Complex zwei- 

 ten Grrades (8) angehört, entsprechend der Thatsaçhe, dass 

 jede Untergruppe der F-^q, die keine Complexgerade in- 

 variant lässt, sicher entweder einen Punkt oder eine Nicht- 

 complexgerade oder eine gewundene Curve dritter Ordnung 

 in sich transformiert. 



§ 2. 



Zur Vermeidung von häufigen "Wiederholungen sollen 

 im Folgenden ,die hauptsächlichsten Transformationen der 

 Gio, welche später Anwendung finden, zusammengestellt 

 werden. 



Die endlichen Grleichungen der eingliedrigen Gruppen 

 JÎ, X, y, x^, xy^ y'^, s — \xy lauten bez: 



(TJ x' = x, y'=y, s' = 2^t, 



(T^) x' = x, y' = y-\-t-, ^' = .0+5^/', 



(T^) x' = x^U y' = y, z' = z, 



(T^ x' =^x, y' = y-\-xt, 3' =s-{-^x^t, 



(T^) x' = ice*, y' = ye~^, 3' = 3, 



(T^) X' = x-^yt, y' = y, s' = ^H^/'^^ 



(T^) x' = xe\ y' = ye\ s' = ze^-K 

 Für die eingliedrige Gruppe x'^-\-y'^ besitzen die end- 

 lichen Gleichungen die Form: 



