Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 107 



Cap. 2. . 



Bestimmung aller Untergruppen der O,o, welche einen Punkt 

 invariant lassen. Deutung derselben. 



Wir gelieii zunächst auf die Bestimmung aller Unter- 

 gruppen der (xjo ein, welche einen Punkt invariant lassen. 

 Da jeder Punkt des Raumes in jeden anderen vermöge einer 

 Transformation der (r^o übergeführt werden kann, verlegen 

 wir diesen invarianten Punkt in den unendlich fernen Punkt 

 der 3 — Axe. Die grösste Untergruppe der (x^qi welche diesen 

 Punkt stehen lässt, lautet: 



1, X, y, x^, xy, y"^, z — \xy 



Sie wird im Folgenden kurz als G-i bezeichnet. Es 

 handelt sich daher darum, alle Untergruppen dieser sieben- 

 gliedrigen Gruppe zu ermitteln. 



Um eine Contrôle für die Richtigkeit der gewonnenen 

 Resultate zu haben, wird diese Bestimmung im Folgenden 

 auf zwei verschiedenen Wegen durchgeführt^). 



§ 3. 

 Die erste Methode stützt sich auf die Thatsache, dass 

 die sechsgliedrige G-ruppe: 



1, X, y, æ;2, xy, iß 



die zur Abkürzung (x^ genannt werden möge, eine invari- 

 ante Untergruppe der G^ bildet. Auf Grund dieser Be- 

 merkung lässt sich unser Problem sofort in zwei einfachere 

 Einzelprobleme zerlegen, welche nach einander erledigt 

 werden müssen. Es werden nämlich innerhalb der Unter- 

 gruppen der (?7 zwei Klassen unterschieden werden können, 

 je nachdem in diesen Untergruppen die characteristische 



*) Die erste Methode verdankt der Verfasser Herrn Prof. Engeln die 

 zweite Herrn Prof. Lie. 



