108 Emil Knothe. 



Function Z^^—^xy vorkommt oder niclit. Die, welche der 

 ersteren Klasse angehören, sind zugleich Untergruppen der 

 Gß. Von denen der zweiten Klasse gilt dies zwar nicht; 

 wohl aber enthält jede r-gliedrige Gruppe dieser Art eine 

 r — 1 gliedrige invariante Untergruppe, welche auch der G^ 

 angehört. Denn sind etwa 



Uk-\-ockZ ('k = l,..r), 

 wo die Mjt nur aus characteristischen Functionen der Gq 

 zusammengesetzt und nicht alle a^ Null sind, die charac- 

 teristischen Functionen jener r-gliedrigen Gruppe, so lassen 

 sich aus ihnen durch lineare Verknüpfung r characteristische 

 Functionen von der Form 



ableiten, wo nunmehr ii-^' . . u' y—\ Uy sämtlich frei von Z sind. 

 Hier bilden offenbar die «/ . . m',.-i unter sich eine Gruppe, 

 welche als invariante Untergruppe in der Gç, enthalten ist. 

 Man erkennt daraus, dass die Bestimmung aller Unter- 

 gruppen der Gr^ in folgender "Weise geleistet werden kann: 

 erst werden alle Untergruppen der G^ aufgesucht und dann,, 

 um auch alle diejenigen Untergruppen zu finden, in denen 

 Z vorkommt, jeder der erhaltenen r — 1 gliedrigen Unter- 

 gruppen der Gß eine r.e characteristische Function von der 



Form 



Z^a^-^a^x^ oi^y^ß^x'^Ar2ß^xy^ßojß 



hinzugefügt und die Constanten a^a.^a^ ß^ß^ß^ in ge- 

 eigneter Weise ermittelt. 



Wir beschäftigen uns demgemäss zunächst mit der sechs- 

 gliedrigen Gruppe: 



1, X, y, x\ xy, iß 



Ist Gy eine beliebige r-gliedrige Untergruppe der (xg, 

 so bringen wir sie durch passende lineare Verknüpfung ihrer 

 characteristischen Functionen auf eine solche Form: 



, . Vk = ßk\x'^^ßk2xy^ßmy'^-\-aki-^af.2X^akzy, {k = l,..r) 

 M^j= ttji -\-aj2X-\-aßy, {j = 1,.. r—y) 



