Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 100 



dass sich ans den v^ keine characteristische Function von 

 der Gestalt ax-{-ßy-{-y linear herleiten lässt. Es ist klar, 

 dass die Glieder zweiter Stufe 



(ai) Vk' = ßkix''-\-ßk2xy^ß,zy'' 



unter sich eine Gruppe bilden. Denn combiniert man zwei 

 der Functionen v^., so wird in dem entstehenden Ausdruck 

 wiederum ein Glied zweiter Stufe auftreten, welches sich 

 offenbar linear aus den v'k zusammensetzen lassen muss. 



Wir unterscheiden nun die Untergruppen der G^g iiach 

 der Anzahl y der in ihnen auftretenden characteristischen 

 Functionen v^ und suchen der Reihe nach diejenigen, in 

 welchen y = 0, 1, 2, 3 ist. 



Es wird zweckmässig sein, vorher zur Vereinfachung 

 der Form der Vk erst alle Untergruppen der dreigliedrigen 



(rg 



xy, ?/2 



zu bestimmen. 



Jede eingliedrige Gruppe der G^ hat die Form: 

 u^ax'^-j-'bxy-\-cy^. 

 Vermöge der Transformation (T^) geht dieselbe über in: 



II = ax"^-^x'y'(h—2at)^ij'^(at'^—ht-^c). 

 Sind a und h nicht gleichzeitig Null, so lässt sich t stets 

 so wählen, dass der Coefficient von y'"^ versshwindet. Ist 

 dann zugleich für diesen Wert von t auch h — 2at Null, so 

 reduciert sich u auf x^. Besitzt aber die Gleichung 



keine Doppelwurzel, so kann mit Hülfe der Transformation 

 (T^) auch der Coefficient von x'"^ auf dieselbe Weise, wie 

 der von y"^, zum Verschwinden gebracht werden. Wir fi.n- 

 den mithin die beiden Typen 



I x"^ I und xy 



Denn auch die eingliedrige Gruppe y'^, welche im Falle 

 a = b =^ auftritt, ist mit x'^ gleichberechtigt; die Transfor- 

 mation (Tg), welche der G^ angehört, vertauscht ja y^ mit x^. 



