110 Emil Knothe. 



1st ferner 



eine zweigliedrige Untergruppe der (r 3, so können wir zu- 

 nächst auf dieselbe "Weise, wie es bei den eingliedrigen 

 Gruppen geschali, eine der characteristischen Functionen, 

 etwa Mj, auf eine der Formen x"^ oder xy bringen, wobei di& 

 andere, da nur Transformationen der G^ benutzt werden,, 

 die Form annimmt: 



u' = a'x"^ -\-l)'xy-\-c'y'^ . 

 Beide Möglicbkeiten führen auf denselben Typus. Denn im 

 ersten Falle, wo a' = gesetzt werden kann, zeigt die 

 Bildung des Klammerausdruckes: 



[ib'xy-\-c'y^, x"^} ^ 2h'x:^-\-4c'xy, 

 dass c' =^ ist. Im zweiten Falle, wo h' = gesetzt wer- 

 den kann, zeigt die Identität: 



{a'Æ;2-[-&'2/^ xy\ = 2hY—2a'x^, 

 dass entweder a oder h Null ist. Die beiden Gruppen x^,. 

 xy und y^, xy sind aber wiederum vermöge der Transfor- 

 mation (Tg) in einander überführbar, also innerhalb der G^ 

 gleichberechtigt. 



Die kanonischen Formen für die Untergruppen der G^ 



x^, xy, y 



sind also 





xy 



Es ist nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit ge- 

 stattet anzunehmen, dass die v^' in (a^), welche sich aus 

 den Gliedern zweiter Stufe in den Vk zusammensetzen, die 

 Form jener Untergruppentypen der G^ besitzen. Denn die 

 Operationen, die zur Reduction auf diese canonischen For- 

 men nötig waren, sind unmittelbar auf die v^ und Vj^ über- 

 tragbar. Ferner bewahren auch bei den angewendeten 

 Transformationen, die sämtlich der G^ angehören, alle 



