112 Emil Knothe. 



in irgend einer der so entstehenden Grruppen vorhanden ist, 

 so muss die betreffende Gruppe, da 



{rcy-f-A, w} ^ hx — c^ 

 und weiterhin 



{x^-\-X, hx — cy} ^ bx-]-cp 

 ist, auch die characteristischen Functionen a, hx^ cy ent- 

 halten. 1st nun etwa h von Null verschieden, so zeigt die 

 Bildung des Klammerausdruckes 



dass auch 2y-\-y^, mithin schliesslich 



{x, 3y-\-rs} = —3, 

 also die characteristische Function 1 ebenfalls der Gruppe 

 angehört. Dasselbe Resultat liefert die Annahme, dass c 

 nicht Null ist. In beiden Fällen gelangen wir zur Gq. Da- 

 gegen liefert die Annahme, dass h und c beide Null sind. 

 aber a nicht verschwindet, wie leicht durch Bildung der 

 Klammerausdrücke {yi'y.2} und {^2^3} ^u bestätigen ist, die 

 Gruppe : 



2) -2, x"^, xy, y"^ 



Wir wenden uns zur Bestimmung aller Untergruppen 

 der Gq, in welchen zwei characteristische Functionen v^ auf- 

 treten. Wir können die Vk ohne Beschränkung in der Form 



voraussetzen. 



Sollen v^ und V2 für sich eine Gruppe bilden, so 

 müssen, da 



{v2V^} = 3x^-[-ß^x—r^y = 2v^, 



""d /^d Vi sämtlich Null sein, und diese Gruppe lautet: 



3) ^^ ^«/+^ 



Um ferner alle Untergruppen zu finden, in welchen ausser 

 v^ und v^ noch gewisse characteristische Functionen 



