Untergruppen der projectiveu Gruppe des linearen Complexes. 113 



enthalten sind, bezeichnen wir wiederum mit 



w ^ aA;-'bx-\-cy 

 die allgemeinste characteristische Function dieser Art, welche 

 einer solchen Gruppe angehört. Es ergiebt sich dann wie 

 früher, dass diese Gruppe die characteristischen Functionen 

 a, l)x, cy umfassen muss. Ist nun c von Null verschieden, 

 enthält also die Gruppe die characteristische Function y, 

 so enthält sie auch 



{y, v^) = 2x-\-ß^ und {2x-^rß^, y\ = —2. 

 mithin x, y, 1. Diesem Falle entspricht also die Gruppe: 



4) 1, X, y, x"^, xy 



Ist nun c= 0, so sind noch die folgenden Möglichkeiten 

 vorhanden: aund&4=ö; a=0, h:^0; a=^0, 1)=^0. Die 

 Bildung des Klammerausdrucks '{yi'y2f lässt in jedem dieser 

 Fälle erkennen, dass «j=/?,=^j^ = ö ist. Wir erhalten 

 ■daher die Gruppen: 



5) 1, X, x^, xyl 6) X, x^, xy-{-Å. , 7) 1, x^, xy 



Gehen wir nunmehr zur Bestimmung aller Untergrup- 

 pen der Gg über, die nur eine characteristische Function 

 Vjc enthalten, so haben wir von vornherein zwei Hauptfälle 

 zu unterscheiden analog den beiden verschiedenen einglied- 

 rigen Untergruppen der G^, nämlich 



v^xy-\-X und v ^ x'^-\-a-\-ßx-{-yy. 



Wir beschäftigen uns zunächst mit dem ersten dieser 

 Fälle. Hier stellt 



8) xy+Å. 



unmittelbar den Typus einer eingliedrigen Gruppe der Gq 

 dar. Tritt nun wieder zu xy-{-X eine beliebige character- 

 istische Function w ^ a-\-'bx-\-cy, die mit xy-^\ einer Gruppe 

 von der verlangten Beschaffenheit angehören soll, so muss 



8 — Arkiv for Mathematik og Naturv. B 15. 



Trykt den 5 Novbr. 1891. 



