Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 117 



teristische Function xtj-\-X enthalten, ergeben sieh daher 

 zwei Typen, indem einmal A, = ö, dann X = l zu setzen ist. 

 Nachdem alle Untergruppen der Gq bestimmt worden 

 sind, bleibt noch die Aufgabe, alle Untergruppen der G-j 

 aufzustellen, welche die characteristische Function Z in 

 irgend welcher Verbindung enthalten. Jede r-gliedrige 

 Gruppe von dieser Eigenschaft besitzt, wie wir bereits 

 früher bemerkten, eine r — 1 gliedrige invariante Unter- 

 gruppe, welche zugleich Untergruppe der G^ ist. Wir dür- 

 fen ohne Beschränkung annehmen, dass diese r — 1 gliedrige 

 Untergruppe — die Gr-h wie sie im Folgenden stets ge- 

 nannt wird — unmittelbar eine der bestimmten canonischen 

 Formen für die Untergruppen der Gq hat. Denn die Trans- 

 formationen, welche angewendet wurden, um die Unter- 

 gruppen der Gq auf jene canonischen Formen zurückzu- 

 führen, gehören sämtlich der Gq an und beeinflussen die 

 Gestalt der characteristischen Function 



welche die G^-j zur r-gliedrigen Untergruppe der (r^ er- 

 gänzt, nur insoweit, als sie den Constanten a^a<^a^ß^ß^ß^ 

 neue Werte erteilen. Wir fügen daher, um alle Unter- 

 gruppen der G^ von der verlangten Beschaffenheit zu er- 

 mitteln, zu jedem Untergruppentypus der (îg, zu jeder Gr—h 

 U als neue characteristische Function und suchen die Con- 

 stanten ou-^^a^a^ßj^ß^ß^ in geeigneter Weise zu bestimmen. 



Zunächst lässt sich U stets um r—1 Summanden ver- 

 kürzen, indem die characteristischen Functionen der G^-i 

 mit passenden Constanten multipliciert von U subtrahiert 

 werden. Ferner sei vorausgeschickt, dass die Constante a^ 

 mit Hülfe der Transformation {T-^) zum Verschwinden ge- 

 bracht werden kann. 



Wir behandeln zunächst den Fall, wo die (r,—;, die 

 drei characteristischen Functionen x'^, xy, tß enthält, alsa 

 eine der beiden Formen 1) oder 2) besitzt. . 



