Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Coraplexes. 121 



Wir kommen endlicli zu dem Falle, dass die Gr-i eine 

 der Formen 15), 21) oder 22) besitzt. Aucli hier ist : 



und es folgt: 



mithin ^^ = 0, ß^ = —• 



Betrachten wir zunächst 22) als Gy-h so ist 

 V = z—lxy^hy ; 

 da der Coefficient von xy von — 1 verschieden ist, so kön- 

 nen wir, wie wir früher sahen, vermöge der Transformation 

 (Tg) erreichen, dass das Glied hy verschwindet, und wir ge- 

 langen zu der Gruppe: 



i, Xr 3c^-fy: 3s — xy 



Wählen wir ferner 21) als Gr-h so ist der Identität 

 (b) gemäss a^ = ö, und U erhält die Form: 



U^ z — ^xy-\rOL.^x. 

 Mit Hülfe der Transformation [T^] bringen wir noch das 

 Glied a^x zum Verschwinden und finden den Typus: 



i, x'^-\-y, 3z — xy\ 



ßeduciert sich die G^-j auf x^-\-y, so sind a^ und a^ 

 beide Null, wie die Identität (b) zeigt, und es ergiebt sich 

 die Gruppe: 



x^A;-y, 3z — xy 



Es bleiben hiernach nur noch die Fälle zu erledigen, in 

 denen die Gr-j eine der Formen 23), 24), 25) oder 26) besitzt. 

 Im ersten Falle können wir U in der Gestalt annehmen : 



U=Z-^ß^x^-^ß,xy-^ß,y'^. 

 Mit Hülfe der Transformationen [T^], (T^), (Tg) ist nun 

 stets zu erreichen, dass der Ausdruck ßiX^-\-ß2^!/-{-ß3!J^ 

 entweder gleich ax"^ oder axy wird, ohne dass dabei die 

 Gr-i ihre ursprüngliche Gestalt verändert. Es ist daher 



