Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 123 



also oc^= ß^ = 0. Je naclidem ß^ =}= oder = ist, er- 

 geben sich auf einem ganz ähnlichen Wege, wie er für die 

 Gy-i 26) eingeschlagen wurde, die Typen: 



X, 2Z—x^ , OB, B^ax}! 



wo wiederum a keiner Beschränkung unterliegt. 



Es sei endlich die G^-i durch die Grruppe 1 1 | gegeben. 

 Dann ist 



und es kommt darauf an, diese characteristische Function 

 auf gewisse canonische Formen zu reducieren. Sind nicht 

 alle Constanten ß^ ß^ ß^ Null, so können wir zunächst 

 vermittelst der Transformationen (T^), (Tg), (Tg) dem Aus- 

 druck ß ix"^ -\- ß 2^y -\- ß bV"^ eine der Formen ax^ oder axi/ 

 erteilen. Im ersten Falle gewinnt U die Gestalt: 



ü^ Z-\-ax'^-\-a^x-\-a^y. 

 Vermöge der Transformation [T^) lässt sich ferner das Glied 

 vt^y entfernen; ist dies geschehen, so gelingt es mit Hülfe 

 der Transformation (T^) leicht, auch das in x multiplicierte 

 Glied fortzuschaffen. Da a von Null verschieden ist, können 

 wir durch Anwendung der Transformation (Tg) a = — ^ 

 machen und erhalten so schliesslich : U^2Z — a?^, und die 

 entsprechende Gr bekommt die Form: 



1, 2Z- 



Lässt sich in der oben angegebenen Weise der Ausdruck 

 ßxSc'^-\-ß'i,xy^ß^y'^ auf die Form axy bringen, so wird: 



JJ^ Z-\-(xxyA;-a^x-\-a^y^ 

 und wir haben, wie schon des öfteren geschehen, zwischen 

 folgenden drei Fällen zu unterscheiden: 



a = |, a = — -1, a weder — \ noch -\-\. 

 Die typischen Formen für U sind demnach: 



TJ ^ s — ?/, TJ ^ s — xy — 2x^ ü ^ z^aæy. 

 Wenn der Wert von a keiner Beschränkung unterliegt, so 



