Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 125 



Kenntnis aller Untergruppen der linearen projectiven G-ruppe 

 der Ebene, welche von Lie vollständig angegeben worden 

 sind ^). 



Wir schreiben die F^ in der Form: 



r, p-{-yr, q—ær, æq, yp, xp-^zr, yq-^zr 



Alle ihre infinitesimalen Transformationen besitzen die 

 (restait : 



X^f= ^k{ocy)p-^r]jlœy)q^^{poyz)r. 

 Es erzeugen also die verkürzten infinitesimalen Transfor- 

 mationen 



X/eee äk{ccy)p+rjk{a;y)q 



eine Gruppe G und zwar eine solche, welche, r^ gesetzt, 

 mit der Gruppe der Xj^f isomorph ist. Sehen wir von der 

 eingliedrigen Gruppe r ab, so entspricht jeder Untergruppe 

 der Fj eindeutig eine Untergrupjfe der G. Es fragt sich 

 nun^ ob es gelingt, umgekehrt aus den Untergruppen der 

 G alle Untergruppen der F,. abzuleiten. 



Ist Gr eine beliebige r gliedrige Untergruppe der G, so 

 wird zunächst jede infinitesimale Transformation X^.f der- 

 selben durch Hinzufügung des in r multiplicierten Gliedes 

 <§jtr, das sich unmittelbar aus der Form der infinitesimalen 

 Transformationen der Fj ergiebt, zu dem entsprechenden 

 Xicf ergänzt werden müssen. Es sind nun nur zwei Möglich- 

 keiten denkbar: Erstens kann die Untergruppe derP^, aus 

 welcher die Gr abgeleitet werden kann, die eingliedrige 

 Gruppe r enthalten; alle Gruppen von dieser Beschaffenheit 

 erhalten wir einfach, indem wir r als neue infinitesimale 

 Transformation zu den Xj^f hinzufügen. Zweitens aber kann 

 die Gr auch aus einer solchen Untergruppe der F,j ent- 

 standen gedacht werden, welcher die eingliedrige Unter- 

 gruppe r nicht angehört; wir werden zu allen Untergruppen 

 von dieser Art gelangen, wenn wir zu jeder infinitesimalen 



^) Lie, Ark. f. Math., Bd. X. 



