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Emil Knothe. 



Transformationen q^—œr-^-a^r, p-^yr — 2œq-^a^r oder q—ær 

 -\-ßir, p^yq-\-{y^z)r-\~ß^r an. Da nun 



{q — ccrA^a^r, pA^yr—2xq-\-a ^r) ^ 2r, 

 {q—ocr-^ß^r, p^yq^{y^s)r^ß^r) = 2r-\-q—air-^ß^r, 

 kommt aucli r vor. Ans den Gruppen IIF, IIP, IV'', IV^ 

 ergeben sicli daher nur die Typen: 



r, q — ær, æq, p^yq-^[y-\-c)r 



r, p-{-yr — 2æq^ q — ær, œp^2yq^32r 



r, p-\-yr — 2æq, q — ær 



r, q—ær, pMjq^{y+z)r 



Während zwischen den bis jetzt behandelten Unter- 

 gruppen der G und den ihnen entsprechenden Untergruppen 

 der r,j eine eindeutig umkehrbare Zuordnung stattfindet, 

 ist dies für alle weiteren Typen der G und F.^ nicht mehr 

 der Fall; wir haben von nun an vielmehr zwischen Unter- 

 gruppen, welche r als selbstständige infinitesimale Transfor- 

 mation enthalten, innerhalb der P; zu unterscheiden. Die 

 Untergruppen der ersten Art lassen sich ohne Weiteres an- 

 geben; sie lauten: 



r, q — ær, æq 



r, æq, oi!p-\-q-\-{s — æ)r 



r, æp — yq, æp-{-yq-\-2zr 



r, q—ær, aæp-\-byq-\-{a-\-h)zr 



