Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 131 



den wir auch auf die Gruppe xq-\-ßr an und bekommen die 

 Typen : 



x<i ■< \æq — r • 



Wir gehen endlich zur Discussion der Falle III'', IV^, 

 IV^ und V*"^ über. Im ersten Falle hat die entsprechende 

 Untergruppe der r.j die Form : 



q—ær^a^r^ xq-\-a,^r, axp-{-hyq^[a-j-'b)gr-\-a^r. 

 Ihre infinitesimalen Transformationen seien der Reihe nach 

 mit Xj/i X^f, X^f bezeichnet. 



Es sei zunächst a-\-h verschieden von Null. Dann ge- 

 stattet die Transformation (Tj) das Glied a^r zum Ver- 

 schwinden zu bringen, und die Combination von X^f mit 

 Xj/" und X^f ergiebt: 



(ZiXg) = h{q-xr)^a,{ai-b)r ^ hX,f-^aa,r, 



(XgXg) ^ (& — a)xq-\^a.^{a-\-h)r ^ [h — a)X^f^2aa^r. 



Ist daher a von Null verschieden, so wird «^ = o-j = 0, 

 und wir finden den Typus: 



(A) q — os)\ xq, axp-\-byq-\-{a-{-b)s!r 



Ist a = 0, so wird X^f^ ypA^zr. Mit Hülfe der Transfor- 

 mation (T2), welche die Form von X^f unverändert lässt, 

 machen wir dann a^=^0. Hierbei gewinnt X^f die Gestalt 

 xq-\-ßr. Je nachdem nun ß Null oder von Null verschieden 

 ist — im letzten Falle können wir erreichen, dass ß = — 1 

 wird — , erhalten wir die Typen: 



q—œr, xq, yp-{-2r -, q — xr^ æq—r, yp-\-^r • 



Den ersten Typus vereinigen wir mit dem unter (A) ge- 

 fundenen, indem wir a nachträglich auch den Wert frei- 

 lassen. 



Ist «-{-& = (9, also Xo,f^ xp — yq-{-^o'>', so wird 

 {X, X3) EEE -q-^ar, (X, X,) = -2æq, 

 mithin «j = a^ = 0. Wenn dann a^ von Null verschieden 

 ist, so machen wir diese Constante vermittelst der Trans- 



