Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 137 



Mit Oß^ = 0^ ii?2 = bleibt zugleich die reciproke Polare- 

 cTg = ö, œ^ = und die durch oc-^ = .0, x.^ = und æ^ = 0, 

 æ^ = bestimmte lineare Congruenz invariant. 



Alle übrigen fünfgliedrigen Untergruppen der F^ unter- 

 scheiden sich von (4) dadurch, dass sie keine Nichtcomplex- 

 gerade in ßuhe lassen. Sie alle sind Untergruppen der 

 sechsgliedrigen Grruppe (3) und führen daher, wie die letztere,, 

 die Complexgerade æ^ = 0, ^^ = ö in sieb selbst über. 



Unter diesen ist nun zunächst die Grruppe 



(5) ^4^3. ''»4^2— ''»li's. ''»4^1-1 ^2^3. ^1^2' a?lP^—a'^>^Pi 



dadurch characterisiert, dass sie alle Volumina des Raumes- 

 xys unverändert lässt. 



Hält man ferner in dem der Ebene x^^ zugeordneten' 

 Büschel von Complexgeraden ausser æ^ = 0, æ^ = noch 

 die weitere æ^ = 0, æ^ = fest, so folgt aus (3) der Typus : 



(6) a;^2)s, x^p^—w^Pq, æ^2h+^2Ps^ x^p^^—x^p^.x^p^—x^p^ 



Durch die Gruppe: 



(7) XéPz'i ^éVi ^iPs' XàPl\'^2P3^ X\P2i "^zPz X^Pa 



werden zwar ebenfalls die Complexgeraden jenes Büschels 

 eingliedrig transformiert, doch zum Unterscheid von (6) in 

 der Weise, dass zwei in ^^ = ö, x^ = zusammenfallende 

 Strahlen invariant bleiben. 



Zu weiteren Untergruppen gelangt man, wenn man die 

 Forderung stellt, dass die Complexgeraden der Ebene x^ = 

 zweigliedrig, die Punkte der invarianten Complexgeraden 

 x^=^0, a?4 = (9 eingliedrig transformiert werden sollen. Je 

 nachdem dann auf der Geraden zwei getrennte Punkte 

 x^ = (9, x^ = ö, x^ = und x-^ = ö, ^3 = 0, x^ = oder 

 zwei in x-^ = 0, x^^= 0^ x^ = zusammenfallende Punkte 

 stehen bleiben, ergiebt sich die Gruppe 



(o) ^41^31 ^4i^2 ^iP^i X\P2> ^iPl ^iP-li X3P3 "'^4^4 



