Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 139 



<13) 



^éPsi -^zPl' "^iPi ^2i^2' '^lP2 



als doppelt zählender Punkt x^ =ö, X2 = 0, x^= in Ruhe. 



Damit sind alle viergliedrigen Untergruppen erschöpft, 

 welche eine Nichtcomplexgerade invariant lassen. 



Verlangt man, dass alle Complexgeraden der Ebene 

 rr^ = ö in Ruhe bleiben sollen, so gelangt man zu dem 

 Typus : 



(14) 



x^Pqi sc^P^ ^iPst ^4Pi~\'^2P3i ^aPs "^aPa 



Sollen zwei getrennte Complexgerade dieser Schar sich 

 invariant verhalten, so kann noch die weitere Forderung 

 gestellt werden, dass auf einer der invarianten Geraden, 

 etwa auf Xi = 0, x^ = die Punkte eingliedrig transfor- 

 formiert werden. Dies kann auf zweifache Weise geschehen, 

 indem nämlich zwei getrennte oder zwei zusammenfallende 

 Punkte ihre Lage bewehren; dem ersten Falle entspricht 

 der Typus: 



(lo) ^4^35 ^iP'i ^li^s' '^^P^ ^iPi-i ^aPs -^4^4 



dem zweiten Falle der Typus; 



(16) x^p^,x^p.,-xip^, x^p^-]-X2Ps,x^p^-x^p^—Xs}ys—^4P4 • 



Die Gruppe (15) hat ausserdem die ihr eigenthümliche 

 Beschaifenheit, die Schar von Flächen zweiten Grades 



s~f-xy = const.- 

 invariant zu lassen. 



Ganz in derselben "Weise ergeben sich, wenn man in 

 a:^ = zwei in a;^ = ö, X4^ = zusammenfallende Complex- 

 gerade und auf dieser entweder zwei discrete oder eineu 

 doppeltzählenden Punkt festhält, die Gruppen: 



(17) 



x^p^, x^p.^ ^iPs^ ^\Pit "^zPs "^^Pa: 



bez. 



(18) 



^4^3' ^àPi "^iPs' ^4Pl\^2Ps^ ^iPi 



