142 Emil Knothe. 



Damit ist das gestellte Problem auch für die vier- 

 gliedrigen Untergruppen der F-^ erledigt. 



Unter den dreigliedrigen Untergruppen der F^ wollen 

 wir von Anfang an zwei Gattungen unterscheiden, je nach- 

 dem eine Nichtcomplexgerade invariant bleibt oder nicht. 



Wir untersuchen zunächst die der ersten Grattung. 



Hier ist in erster Linie die Gruppe 



(26) a?ii>2, X\Vl—^2P2^ ^2Pi 



dadurch characterisiert, dass sie alle Punkte der Nichtcom- 

 plexgeraden x^ = ö, ajj = 0, aber keinen auf ihrer reciproken 

 Polaren âJg = ö, œ^=^ stehen lässt. Sie transformiert, 

 jeden Punkt des Raumes xî/z auf einer bestimmten Ebene 

 3^=^ const., ist also intransitiv. 



Alle anderen Typen von der verlangten BeschaiFenheit 

 sind als Untergruppen in der viergliedrigen (12) enthalten. 

 und lassen daher sämmtlich auf jeder der Nichtcomplex- 

 geraden .2?^ = ö, æ<^=^ und Æ^g = ö, x^^= einen einzelnen: 

 Punkt, nämlich æ-^ = ö, Xç^=- 0, x^= und x-^^ ^ 0, x^ = 0, 

 x^ = in Ruhe. Jede dieser Gruppen hat aber noch eine 

 besondere Eigenthümlichkeit. Während bei der Gruppe 



(27) x^p^, x^p^—œ^p^, x^p^—æ^p^ 



zwei getrennte Punkte der Geraden ^x^ = ö, x^=^ fest 

 bleiben, nämlich oc^ = æ^=^ œ^^= und æ^ = ajg = ^^ = ö^ 

 fallen bei der Gruppe 



(28) a?4J)3, x^p.^, Xsîh—^éPi ■ 



diese beiden invarianten Punkte in den einen a^j = 0, Xq^O,. 

 £c^ = zusammen. 



Die viergliedrigen Gruppe (12) lässt auch die Complex- 

 gerade æ^ = 0, æ^ = 0, -die Verbindungslinie der bei ihr in- 

 varianten Punkte, stehen. Verlangt man nun, dass auf 

 dieser Geraden alle Punkte ihrer Lage beibehalten sollen, 

 so findet man die offenbar intransitive Gruppe: 



