146 " Emil Knothe. 



lässt. Jeder Punkt des Raumes xyø wird bei allen ihren 

 Transformationen auf einer bestimmten Fläche der Schar 



— = const. 



fortgeführt. 



Rückt der eine der auf der Nichtcomplexgeraden x^ = 0, 

 i»2 = ^ invarianten Punkte x^ = ö, x^ = 0, a;^ = mit dem 

 anderen x^ = ö, x^^ 0, x^ = zusammen, so ergiebt sick 

 der Typus: 



(44) 



^iPz-i '^\Pi ^21^2 



bei welchem jeder hyperbolische Cylinder 



æy = const. 

 in sich übergeführt wird. 

 Die Gruppe 



(46) a?42>3' ^lP2 



endlich lässt auf den reciproken Polaren œ^ = 0, œ.^ = ö 

 und x^ = 0, x^=^ je einen doppeltzählenden Punkt, auf 

 deren Verbindungslinie rc^ = ö, x^ = aber alle Punkte 

 stehen, so dass jeder Punkt xyz des Raumes auf einer be- 

 stimmten Ebene æ = const, transformiert wird. 



Von den bisher besprochenen unterscheiden sich die 

 Gruppen (45), (47) und (48) wesentlich dadurch, dass sie- 

 keine Nichtcompl exgerade in Ruhe lassen. 



Bei der Gruppe 



(45) ' x^p^, x^p^—x^Pz 



zunächst bleiben sämtliche Compl exgerade der Ebene æ^=^0' 

 und auf einer derselben, auf x-^ = 0, x^ = ö, alle Punkte 

 invariant; die invarianten Flächen sind also die Ebenen 

 X = const. Anders die Gruppe 



(47) ^4^3' ^42>l+«l2>2+^2P3 ; 



sie lässt in x^=^ nur die doppelt zählende Gerade 0?^ = 0, 

 ic^ = ö und auf ihr den doppelt zählenden Punkt x-^ = 0., 



