Untergruppen der projectiven Gruppe des linearen Complexes. 147 



x^=.0, x^=^0 stehen und führt jeden Punkt xys des Rau- 

 mes auf einer der Flächen 



2y — x^ = const. 

 fort. Bei den Transformationen der Gruppe 



(48) aJ^Pa— Ä^lPs' ^1^1— «2-^2+^3^3— ^4^4 



endlich bleiben die drei Complexgeraden x-y-=0, cCj^-=0\ 



x^ = 0, rcg = ö und x^ = 0, x^ = in Ruhe, sowie jede 



der Flächen zweiten Grrades: 



xy-\-3 



-^-J — = const. 



X 



Alle übrigen zweigliedrigen Gruppen bestehen aus nicht 

 vertauschbaren Transformationen. Unter ihnen fassen wir 

 zunächst wieder diejenigen ins Auge, welche Nichtcomplex- 

 gerade invariant lassen. 



Die Gruppe 



(49) a^iPa. x^p^—.v^p.^ 



führt jeden Punkt der Nichtcomplexgeraden x^^= 0, x^ = 

 und ausserdem den auf ihrer reciproken Polaren rcg = 0, 

 a!^=z gelegenen Punkt x-^ = ö, Xs=^ 0, £P^ = in sich 

 über. Die invarianten Flächen sind bei ihr die Ebenen 

 2 = const. Nicht so die Gruppe: 



(50) «4^3' ^iPi — ^iP2—^QPz+^4.P4. 



bei ihr bleiben alle Punkte der Complexgeraden Xi == 0^ 

 a:^z=z und ausserdem auf x^ = 0, æ^ = noch der Punkt 

 x^ 0, Xs = 0, x^=^0 fest. Jeder Punkt xyz des Raumes 

 bewegt sich also auf einer bestimmten Ebene x = const. 

 Alle Ebenen dieser Schar gestatten auch die Gruppe: 



(51) oc^p2—x^Ps, x^p^—x^p^—XsPs+x^p^ 



Doch liegt ein wesentlicher Unterschied zwischen ihr und 

 dem eben betrachteten Typus darin, dass sie die Fläche 

 zweiten Grades 



1 2 ~l 3 4 ~ " " ' ^ 



